Квадратні рівняння

Квадратне рівняння- це рівняння вигляду ax2 + bx + c = 0, де a≠0.

Геометричний зміст

Графіком квадратичної функції є парабола. Розв'язками (коренями) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, яка описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних корнів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт а додатній, вітки параболи направлені вгору, якщо від'ємний - вітки параболи направлені вниз. Якщо коефіцієнт b додатній, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо від'ємний - в правій півплощині.

Вивід формули для розв'язання квадратного рівняння

Формулу для розв'язання квадратного рівняння можна отримати так

ax2 + bx + c = 0
ax2 + b= -c

Помножимо рівняння на 4a

4a2x2 + 4ab= -4ac

4a2x2 + 4abx + b= -4ac + b2

(2ax + b)2 = b-4ac

2ax + b = ±√b-4ac

Пошук коренів квадратного рівняння

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 дійсних коренів в залежності від значення дискримінанту D = b2 − 4ac:

коли D > 0 корнів два, і вони розраховуються за формулою

x1,2 = (-b ± √D)/ 2a

 коли D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих кореня), кратності 2:

x = -b/2a

коли D < 0 дійсних коренів немає. Існують два комплексних кореня, що розраховуються за формулою

x1,2 =( -b ± i-D)/2a 

Теорема Вієта

Сума коренів приведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0 дорівнює коефіцієнту p, взятому з оберненим знаком, а добуток коренів дорівнює вільному доданку q:
x1 + x2 = -p, x1x2 = q.